3.3.1双曲线及其标准方程

一．教材内容解析

“双曲线及其标准方程”、“椭圆及其标准方程”、与“抛物线及其标准方程”是圆锥曲线的三种方程，三部分在圆锥曲线中的地位相同，它能在不同层次上体现数学中知识的交汇和解题方法的丰富多彩，也因此备受高考的关注。双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程相类似，教材处理也相仿，在知识体系中两者表现为平行关系，但双曲线却是所有圆锥曲线中学习难度最大的一种。所以在教学中，一方面，要注意与已学习过的椭圆进行类比，在类比迁移中找到知识和方法上的相通处；另一方面，也要注重其相异点，以建构起新的数学认知。学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一，以利于后面能进一步理解掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质。从而借助形和数的对应关系，把形的问题转化为数来研究，再把数的研究转化为形来讨论，能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究抛物线提供了必要的工具和基础。因此本节内容起到了承上启下的作用。

二、教材分析

本案例从学生的兴趣入手引入新课，以椭圆的定义和建立椭圆的方程开始引导学生,着手从双曲线的定义来推导双曲线的标准方程，再从方程以及图像来深刻剖析双曲线的定义,从而真正理解双曲线的定义及其标准方程。

设置的练习目的在于让学生真正理解标准方程的两种形式,分清两种形式里的a,b,c及其焦点坐标,其中焦点坐标是还是,分别对应哪种形式值得强调。

思考是为了真正弄懂双曲线的定义及其图像。例1的目的是用待定系数法求双曲线的方程,其中蕴含分类讨论的数学思想。例2的目的在于加深对双曲线定义的理解,以及双曲线标准方程中a,b,c所指量,例2的思考是着手对定义后的补充的思考的实践.只有实践才能真正掌握定义2a<2c的意义。

最后的课堂训练是学生自己思考动手解决问题,让其体验学习过程,进一步明确今天所学内容,达到对新学知识的再认识.

三、学情分析

高二学生已经形成了是非观，具备了一定的类比转化及分析问题的能力，在心里上也具备了承受和辨证地接受别人的意见和建议，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。四、教学目标

1.知识目标

（1）通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程。

（2）理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系。

2.能力目标

通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

（1）在类比及实验中获得双曲线的知识，培养学生合理猜测的能力。

（2）在双曲线标准方程的推导中，进一步提高学生的代数运算能力和理性化的数学思维。

（3）能根据已知条件，选择恰当形式的双曲线方程解题。

（4）加深对类比、求简、分类讨论思想的理解与运用。

3.情感目标

（1）通过实例的引入和剖析，让学生再一次感受数学来源于实践又反作用于实践；生活中处处有数学。

(2)在教学中渗透“量变产生质变”的辩证唯物主义世界观。

四、教学重点、难点

重点：根据已知条件求双曲线的标准方程，掌握双曲线中a,b,c 之间的关系

（设计意图研究双曲线的性质离不开a,b,c之间的的关系）

难点：双曲线的标准方程如何分清双曲线标准方程的两种形式是难点（解决方法多媒体辅助教学，指导学生自学法）

五、教学程序设计：

(一)创设情境：在上课之前首先用多媒体为学生播放校园歌曲《悲伤的双

曲线》，动听的旋律响起，一下就吸引了学生的注意，看着歌词，

欣赏完歌曲，学生就开始围绕双曲线提问，问定义、怎么画图像、

方程是什么，自然而然的进入了这节课的内容。

（设计意图：学生都是十七八的年纪，正处在爱听歌，喜欢“为赋新诗强说愁”的阶段，所以我从学生兴趣入手，由歌曲引入新课，比生硬的开场白要起到事半功倍的效果。）

(二)复习提问

1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)

平面内与两定点、的距离的和等于常数(大于||)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点、的距离的和等于常数；(3)常数2a＞||．

2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)

（设计意图：把知识点在黑板上板书出来，在给出双曲线的定义、方程之后让学生能对这两种圆锥曲线的异同直观的进行比较。）

(三)双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

（设计意图:让学生产生疑问，自己设想，锻炼学生的想象能力。）

1．简单实验(边演示、边说明)

如图2-23，定点、是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|M|-|M|是常数，这样就画出曲线的一支；由|M|-|M|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于||，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．

（设计意图：让学生自己动手，锻炼学生能力的同时活跃课堂气氛）

2．设问

问题1：定点、与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

问题2：|M|与|M|哪个大？

问题3：点M与定点、距离的差是否就是|M|-|M|？

问题4：这个常数是否会大于等于||？

（设计意图：让学生回答，锻炼学生的观察能力，分析能力，解决问题的能力，同时通过这几个问题能准确理解双曲线的定义。）

 3．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

(四)双曲线的标准方程

设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)

教师引导学生指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是，不同于椭圆方程中．

(五)对比体验、提高兴趣

1、求满足下列条件的双曲线的标准方程：

焦点 (-3，0)、 (3，0)，且2a=4；

本题由学生先练习再口答：

设计意图：让学生熟记双曲线的定义，会用定义法求曲线轨迹方程。

2、证明：椭圆与双曲线的焦点相同。

3、已知两点(-5，0)、(5，0)，

(1)求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．

(2)如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

(1)按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以 

(2)因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．

(六)反思成果、探究问题

1．定义：平面内与两定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹．

3．图形(见图2-25)：

4．焦点： (-c，0)、 (c，0)； (0，-c)、 (0，c)．

5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

（期）布置作业、探究问题

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；

(2)经过点和，焦点在y轴上。

3．已知圆锥曲线的方程为，求其焦点坐标．

（八）、板书设计

（九）、教学反思与启示

用学生感兴趣的音乐导入本课，使学生在快乐中学习，运用大量的图片和视频资料对比，激发学生的积极性和主动性。本节课识记内容不多，但是计算很多，需要学生既动手又动脑，另外解析几何内容相对枯燥，所以运用多媒体教学，增加活跃气氛，调动学生的积极性，整节下来，学生兴趣很高，效果不错。但是有点不足的是，有几个学生下课后要求我把课件存入班级电脑，问其原因，想听悲伤的双曲线这首歌，说明对有的学生这节课偏离了主体，重点没发挥作用，还有待改善。